함수, 로그함수, 벡터와 행렬, 극한, 입실론-델타 논법

 

 

• 오우쉣~
• 고딩 때 하던 수학 그대로이다
• 강의를 보니 요즘은 벡터랑 행렬을 안 배운다던데...? 이거 실화임?
• 벡터와 행렬 그리고 딥러닝, 누가 생각한건지 모르겠는데 참 대단한 것 같다

• 어제 친구 게임 인프라를 테라폼으로 구현 좀 하느라고 12시 넘어서 잤더니 조금 늦게 일어났다...
• 그래서 퇴근하고 마저 작성한 후에 올립니다ㅜ

 

 

 

 

 

 

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1. 함수

• 함수란 무엇일까?
• 함수란 두 변수 x,y에 대하여 x가 정해지면 그에 따라 y의 값이 하나만 결정될 때, y를 x의 함수라고 한다
  $y=f(x)$
• y가 여러개 정해질 수 있다면 그것은 함수가 아니다

• 함수는 좌표에 그래프로 표현할 수 있다
• 무수히 많은 x 값에 대응하는 y의 값을 좌표에 하나씩 표현을 하다보면 결국 그것이 이어진 것처럼 보이게 되고 그래프로 표현이 된다

y=x 그래프

• 그렇다면 변수 x가 꼭 하나만 가능하냐?
• 그건 또 아니다
• 여러개의 변수를 가지는 함수를 다변수 함수라고 부른다
• 변수 x,y를 정의역으로 가지고 z를 치역으로 가질 수 있다
• 또한 같은 원리로 좌표에 그래프로 표현할 수 있다. 대신 축이 하나 더 늘어나게 된다.

2. 로그 함수

• 로그 함수란 흔히 지수 함수의 역수라고 부른다
• 맞다
• 하지만 용어가 어려우니 간단하게 개념만 살펴보자면 로그 함수
  $\log_{x} y$ 가 있을 때 이 로그 함수의 의미는 "x를 몇번 제곱해야 y가 되느냐" 이다
  ex) $\log_{2} 4$는 2를 2번 제곱하면 4가 되므로 $\log_{2} 4 = 2$가 된다

2-1. 알아두면 딥러닝에 도움이 될 로그 함수 법칙

1. $\log_{a} xy = \log_{a} x + \log_{a} y$
2. $\log_{a} x^{n} = n \log_{a} x$
3. $\log_{a^{m}} x = \frac{1}{m} \log_{a} x$
4. $log_{a} b = \frac{1}{\log_{b} a}$
5. $\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}$
6. $a^{\log_{a} x} = x$
7. $a^{\log_{b} c} = c^{\log_{b} a}$

3. 벡터와 행렬

• 행렬이란 무엇일까?
• 행렬은 다음과 같은 모습을 가진다

• 그리고 행이 1개 또는 열이 1개인 행렬을 벡터(vector)라고 한다. 행이 1개인 벡터를 행 벡터(row vector)라고 하고, 열이 1개인 벡터를 열 벡터(column vector)라고 한다.
• 그럼 행렬을 왜 사용할까?
• 행렬은 수많은 수식들을 간단하게 표현하기 위해서 사용할 수 있다
• 예를 들어,
  $\begin{cases}
  x + 2y = 4 \\
  2x + 5y = 9
  \end{cases}$
  이런 서로 다른 방정식이 있을 때 다음과 같이 간단하게 행렬로 표현할 수 있다
• $\begin{bmatrix}
  1 & 2 \\
  2 & 5
  \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix}
  x \\
  y
  \end{bmatrix}$=$\begin{bmatrix}
  4 \\
  9
  \end{bmatrix}$ 로 간단하게 표현할 수 있다
• 행렬 곱은 다음과 같은 방식으로 진행한다

두 행렬의 곱 AB는 A의 행과 B의 열의 각 k성분들을 곱해서 더한 것이다.

• 이와 같은 형태로 표현하려면 다음을 만족해야 한다
  • (m x k) x (k x n) 이 있을 때 앞 행렬의 k열의 갯수와 뒷 행렬의 k행의 갯수가 같아야 한다
  • 그리고 표현했을 때 나오는 행렬은 (m x n) 행렬이 나온다

4. 극한과 입실론-델타 논법

• 극한이란 무한대에 가까워질 때 어떻게 되느냐를 수학적으로 표현한 것이라고 볼 수 있다
• 어떤 함수 f(x)에서 x가 a와 다른 값을 가지면서 한없이 가까워질 때 f(x)의 값이 어떤 일정한 값 L과 가까워진다는 것을 수학적으로 표현을 한다면 다음과 같이 표현할 수 있다
  $\lim_{x  \to a} f(x) = L$
• 하지만 함수의 극한을 정의하기에 '한 없이 가까워진다' 라는 표현은 너무 추상적이고 애매하기 때문에 나온 것이 입실론-델타 논법입니다

4-1. 입실론-델타 논법

• 열린 구간 D에 대하여 $\lim_{x \to a}f(x) = L \Leftrightarrow^{def} \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in D \\
  : (0 < |x - a| < \epsilon \Rightarrow |f(x) - L| < \epsilon )$
• 이를 쉽게 풀어쓰면 다음과 같다
  함수 f(x)가 존재할 때, 임의의 양수 $\epsilon$에 대하여 적당한 양수 $\delta (= \delta (\epsilon))$ 가 존재하여
  $0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \epsilon$
  가 성립하면, $x \to a$일 때 함수 $f(x)$의 극한값을 $L$이라고 정의한다. 이때, 함수 $f(x)$는 $x \to a$에서 L에 수렴한다고 하며, $\lim_{x  \to a} f(x) = L$ 로 표현한다
• 즉, $L$ 주변의 어떠한 범위 내에서 어떤 양수 $\epsilon$을 잡더라도 그 범위 안으로 모두 보내버릴 수 있는 $a$ 주변 범위 공간 내에 어떤 값 $\delta$가 존재한다면 $a$에서의 극한값은 $L$이다

어떤 공간 내에 모두 보낼 수 있으므로 극한 성립함

 

a가 조금만 움직여도 바로 범위 밖으로 나가버리므로 극한이 성립하지 않음

 

 

 

 

 

 

 

 

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