미분, 도함수, 연쇄 법칙, 편미분, 테일러 급수

 

 

• 오늘은 머리도 자르고 세미나도 듣고 하다보니 저녁부터 글을 쓰고 있는데 하필 내용도 좀 어렵네요;;;
• 테일러 급수 보면서 참 재미난 발상이라는 생각이 듭니다
• 오늘도 열심히 달려봅시다~

 
 
 
 
 

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1. 미분과 도함수

• 미분이란 특정 값에서의 순간 변화율을 의미한다 → 그래프상에서의 순간 기울기
• $y = x$와 같은 일차함수에서는 순간 기울기가 의미가 없지만 $y = x^{2}$과 같은 이차함수 이상에서는 그래프가 곡선의 형태를 보여주기 때문에 순간 기울기가 진가를 발휘한다

a에서의 순간 기울기

• 순간 기울기를 구하기 위해서는 $\frac{y의 변화량}{x의 변화량}$으로 구해야 하는데 매번 직접 구하기에는 귀찮다
• 그렇기 때문에 값들을 변수로 표현하여 순간 기울기를 구하는 공식에 대입하여 정리하면 도함수를 도출하여 사용할 수 있다. 즉, 도함수는 순간 기울기를 구하는 함수이다.

• 다음은 많이 쓰이는 도함수 구하는 공식이다

1-1. 자주 쓰이는 도함수 공식

1. $x^{n} \Rightarrow nx^{n-1}$
2. $e^{x} \Rightarrow e^{x} \ (단, e는 자연상수이다 \ e \approx 2.718)$
3. $\ln x \Rightarrow \frac{1}{x} \ (밑이 자연상수이다)$
4. $\log_{a}x \Rightarrow \frac{1}{\ln a} \frac{1}{x}$

2. 연쇄 법칙

• 복잡한 수식을 미분하기 위해서 연속된 여러 단계로 구분하여 각각을 미분하여 조합하는 것을 연쇄 법칙이라고 할 수 있다
• $(x^{2} + 1)^{2} \Rightarrow x \rightarrow x^{2} \rightarrow x^{2} + 1 \rightarrow (x^{2} + 1)^{2}$ 이런 식으로 순차적으로 구분하여 생각해보자 (서로 딱히 엄청 큰 연관이 있는건 아님, 그냥 구분해본다면...)
• 그렇다면 $(x^{2} + 1)^{2}$의 미분을 구하기 위해 다음처럼 생각해볼 수 있겠다
• ${d(x^{2} + 1)^{2} \over dx} = {d(x^{2} + 1)^{2} \over d(x^{2} + 1)} {d(x^{2} + 1) \over dx{2}} {dx^{2} \over dx}$
• 그리고 각각을 또 다른 변수로 치환하여 간단하게 바꿔서 생각해본다면
• ${d(x^{2} + 1)^{2} \over dx} = {da^{2} \over da} {d(b + 1) \over db} {dc^{2} \over dc} \\
• = 2a \times 1 \times 2c \\
• = 2(x^{2} + 1) \times 1 \times 2x$
• 이런식으로 복잡한 수식을 나눠서 생각하면 간단하게 미분할 수 있다

3. 편미분과 그라디언트

• 편미분이란 다변수 함수에서 하나의 변수에 대해서만 변화값을 알아보기 위해 미분하는 것을 말한다. 나머지 값들은 고정하고 원하는 변수에 대해서만 미분을 한다.
• $f(x,y)=yx^{2}$ 이런 다변수 함수들은 어떻게 미분해서 수식으로 표현해야할 수 있을까?
  
  • x에 대해서 편미분은 다음처럼 표현한다
    ${\partial f \over \partial x}$ y는 그냥 상수처럼 생각하고 x에 대해서만 미분을 진행하면 ${\partial f \over \partial x} = 2xy$ 이다
  • 그럼 y에 대해서도 편미분을 해보자
    ${\partial f \over \partial y} = x^{2}$
• 이게 편미분이다
• 그라디언트는 이렇게 각각 편미분한 것을 벡터로 표현한 것이 그라디언트이다
  $\begin{bmatrix} {\partial f \over \partial x} = 2xy \\ {\partial f \over \partial y} = x^{2} \end{bmatrix}$

4. 테일러 급수 (Taylor Series)

• 테일러 급수란 어떤 함수를 다항식으로 표현하는 것을 말한다
• 엄밀하게 말하면 유사하게 만드는 것이다
• 예를 들어 $cos(x)$ 함수 같은 함수(더 복잡한)가 있다고 할 때 이걸 그냥 미분하려고 한다면 엄청나게 복잡할 것이다... 그래서 테일러 급수를 통해 이와 같은 함수를 유사하게 표현할 수 있는 다항식을 구해서 그 다항식을 미분하여 근사값을 구하는 것이다!!!

• 이와 같은 물결치는 그래프의 코사인 함수를 다항식으로 어떻게 표현할 수 있을까?

다양한 다항식들의 함수

한 번에 모아서 보면?

• 이렇게 다양한 다항식의 함수들을 이리 볶고 저리 볶고 조합해서 비슷하게 만드는 것이다
• 코사인 함수처럼 구불구불하게 만들려면 첨에는 $y=-x^{2}$ 처럼 내려가게 한 다음에 $y=x^{4}$ 를 적절하게 섞어서 위로 꺾이게 해주고 그 담에 다시 내리고 올리고... 하면서 최대한 비슷하게 만들어주는 것이다

• 이런 식으로 하다보면

• 코사인 함수를 위와 같이 다항식으로 표현할 수 있게 된다
• 그러면 어떻게 구하냐고?
• 나도 몰라
• 코사인 함수를 다음과 같이 표현하고 싶은 것이다
• $cos(x) = C_{0} + C_{1}x + C_{2}x^{2} + C_{3}x^{3} + C_{4}x^{4} + ...$
• 여기서 양변에 0을 한번 대입해보자
• 코사인 0은 1이고 무언가에 0을 곱하면 0이니까...
• $1 = C_{0}$ 이 되어버린다.
• 여기서 우리는 $C_{0}$가 1이라는 것을 알아냈다
• 그러면 다음 차수의 계수는 어떻게 알 수 있을까?
• → 양변을 미분하고, 양변에 0을 대입하면 $C_{1}$을 알 수 있다
• 오마이갓... 누가 찾은건진 몰라도 칭찬해;;
• 이렇게 계속 양변을 미분하고, 양변에 0을 대입하다 보면 하나씩 다음 차수의 계수를 알 수 있다
• 이렇게 하다보면 계수가 0인 것도 나오는데 이것은 다음 그래프 모양이 올라가야 하는데 이번 차수의 역할이 그래프를 내리게 하는 역할을 하게 된다면 계수에 0을 넣어서 없애버리는 것이다
• 이렇게 서로 으쌰으쌰하다보면 구불구불한 그래프 모양을 유사하게 표현할 수 있는 다항식을 구할 수 있다!!!
• 재밌지 않나요?

4-1. 수렴 반지름 (Radius of Convergence)

• 하지만 테일러 급수가 만능은 아니다
• $\ln x$를 테일러 급수를 사용해서 다항식으로 바꾸려고 하면 특정 값 이상에서 값자기 그래프가 막 꼬이기 시작한다
• 이렇게 꼬이기 시작하기 전까지의 범위, 즉, 테일러 급수가 유효한 범위가 원의 반지름처럼 일정하게 범위를 이루고 있다고 해서 수렴 반지름이라고 부른다
• 수렴 반지름 내에서는 테일러 급수로 매우 유사하게 표현할 수 있다
• 수렴 반지름은 Ratio 테스트를 통해 구할 수 있다
• 테일러 급수를 통해 다항식으로 표현을 해두고 n번째 항에서 다음을 성립하는 x의 범위를 구하면 된다
  $\lim_{n \to \infty} \begin{vmatrix} \frac {P_{n+1}}{P_{n}} \end{vmatrix} < 1$

 
 
 
 
 

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